A determinant

Let $a_i>0$. Evaluate the determinant:

$$\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n\\-x&x&0&\ldots&\ldots&0&0\\0&-x&x&\ldots&\ldots&0&0\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\0&0&0&\ldots&\ldots&x&0\\0&0&0&\ldots&\ldots&-x&x\end{matrix}\right]$$

Solution

 \begin{alignat*}{2}
 |{A_{n}}|&=\left|{\begin{matrix}
a_1&a_2&a_3&\ldots&a_{n-2}&a_{n-1}&a_n\\
-x&x&0&\ldots&0&0&0\\
0&-x&x&\ldots&0&0&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&0&\ldots&x&0&0\\
0&0&0&\ldots&-x&x&0\\
0&0&0&\ldots&0&-x&x\end{matrix}}\right|\\
&= (-1)^{n+n}\,x\,|A_{n-1}|+(-1)^{n+n-1}\,(-x)\,\left|{\begin{matrix}
a_1&a_2&a_3&\ldots&a_{n-3}&a_{n-2}&a_n\\
-x&x&0&\ldots&0&0&0\\
0&-x&x&\ldots&0&0&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&0&\ldots&x&0&0\\
0&0&0&\ldots&-x&x&0\\
0&0&0&\ldots&0&-x&0
\end{matrix}}\right|\\
& =(-1)^{2n}\,x\,|A_{n-1}|+(-1)^{2n}\,x\,(-1)^{n-1+1}\,a_{n}\,\left|{\begin{matrix}
-x&x&0&\ldots&0&0\\
0&-x&x&\ldots&0&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&0&\ldots&x&0\\
0&0&0&\ldots&-x&x\\
0&0&0&\ldots&0&-x
\end{matrix}}\right|\\
& =x\,|A_{n-1}|+(-1)^{n}\,x\,a_{n}\,(-x)^{n-2}\,\left|{\begin{matrix}
1&-1&0&\ldots&0&0\\
0&1&-1&\ldots&0&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&0&\ldots&-1&0\\
0&0&0&\ldots&1&-1\\
0&0&0&\ldots&0&1
\end{matrix}}\right|\\
& =x\,|A_{n-1}|+(-1)^{n-1}\,a_{n}\,(-x)^{n-1}=x\,|A_{n-1}|+a_{n}\,x^{n-1}\quad\Rightarrow\\
 |{A_{n}}|&=x\,|A_{n-1}|+a_{n}\,x^{n-1}\,.
 \end{alignat*}
It is easy to check by induction, that for each \(n\in\mathbb{N}\), holds:
\[|{A_{n}}|=x^{n-1}\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}{a_k}\,.\]